Buscando el bote de la loteria

El otro día jugué a la lotería, a una de esas que van acumulando bote hasta que le toca a uno. Lo hice a sabiendas que no me iba a tocar, pero el lado irracional me pudo. Había un superbote con el que no me importaría hacerme. Y claro, no tocó.

Pero lo peor de todo es que no le tocó a nadie, por lo tanto el bote era mayor. Así que, independientemente del porqué jugué la primera vez, tenía que volver a jugar e incluso tendría que jugar una cantidad de dinero proporcional al bote. Vaya, he caído en un circulo de ludopatía.

Así que me puse a hacer cuentas. ¿Me voy a arruinar? ¿Cuánto tengo que gastarme en función del bote?. Supongamos que el bote es la única razón para jugar, que la probabilidad que no se lo lleve alguien es siempre la misma (llamémosla p) y que siempre el bote crece en la misma cuantía (b).

Sí me gasto una cantidad proporcional al bote me gastaré knb (siendo b el bote, n el número de veces que nadie se lo ha llevado y k es una constante de proporcionalidad).
Por otro lado la probabilidad de llegar a las n veces sin que nadie se lleve el bote es p^n. Así el valor esperado de lo que me voy a gastar hasta que toque es la suma del producto de ambos, gasto por la probabilidad de que suceda.

Veamos sum(kbi·p^i)=kb·sum(i·p^i)=kb· p over (1-p)^2 y este es el gasto medio que voy a hacer por cada bote jugado.

Por ejemplo, voy a pensar que en mi juego p=0,75 y que cuando hay un primer bote me gastaré 1€ (=kb). Así me gastaré en cada bote de media 12 €. Claro que incluyo el caso de que no hay bote (i=0), si no lo incluyo ya que me espero w veces para jugar la suma sería: sum(kb(i+w)·p^i)=kb· (p over (1-p)^2+w over (1-p)).

Si espero dos veces antes de ponerme a jugar entonces la suma, es decir el gasto medio por cada bote, sería 20 €. Aunque es mayor, como tengo que esperar a esta situación, al final mi gasto será menor (El caso anterior está incluido en este).

Ahora bien, y ahora ¿Cuál tendría que ser mi presupuesto? Pues el cociente del gasto medio en cada bote entre el número medio de juegos en cada bote. Este último valor será sum(p^i)=1 over (1-p).

Así en el primer ejemplo el presupuesto sería de 12/4=3€ por cada juego. Y en el segundo caso el número medio de juegos en cada bote serán los cuatro anteriores más los que haga falta hasta llegar a esta condición de 2 botes sin que se los lleve nadie.
¿Y cuál es esa longitud? Pues la longitud con la condición de 1 bote (L1) multiplicado por la probabilidad de que, llegada esa longitud, nadie se leve el bote, es decir p, y después más 1. En caso de que alguien se lleva el bote (p-1) la longitud será dos veces esta L1 multiplicado por la probabilidad de que, llegada esa longitud, nadie se leve el bote, es decir p multiplicado a su vez por (p-1), y después más 1, etc, etc...
Vamos que:
L0=1
L1=1+L0*p*(1+2*(1-p)+3*(1-p)^2....=1+L0*p*((1-p) over p^2+1 over p)= 2,33
L2=1+L1*p*(1+2*(1-p)+3*(1-p)^2....=1+L1*p*((1-p) over p^2+1 over p)= 4,11
Así que el gasto medio en cada juego si espero a empezar a jugar hasta que haya habido dos juegos sin que nadie se lleve el bote será 20/(4,11+4)=2,47€. Luego efectivamente como se juega menos se gastará menos, pero bueno voy a dejar de hacer cuentas, que total acabo de recordar que a mi no me va a tocar.

Paradoja de las listas abiertas

Se oye mucho la falta de democracia en las listas cerradas, veamos que no tienen que ser mas democráticas las listas abiertas.
Supongamos 4 partidos A, B ,C y D. Que reciben respectivamente 30%,32%,32%,6% de los votos. Todos proponen 3 candidatos, que es el máximo número de votos en cada papeleta, y se eligen 4.
En listas cerradas los 4 elegidos serían de B y C.
Veamos que pasaría con listas abiertas. Los electores tenderán a votar a su partido, salvo algún cambio que hagan. Como siempre hay un candidato que es el más conocido en cada partido y otro que es el menos. Ahora supongamos que solo los votantes de B y C cambian un voto, supongamos que lo hace un tercio de ellos. Dejarán de votar a los candidatos menos conocidos y votarán al más conocido pongamos de B, C, o D.
Así las cosas, los 3 candidatos de B y C obtienen 37%, 27% y 27% mientras que los de D 16%, 6% y 6%. Por lo que resultan elegidos  2 candidatos de A, 1 de B y otro de C. Un resultado que se parece menos a lo que quiere en realidad la mayoría ya que los cambios de voto se traducen en votos perdidos (el famoso voto útil).

Paradoja de las alianzas electorales

Supongamos que tras las elecciones tenemos el siguiente resultado:
PP: 40%
Cs 30%
PSOE 30%
Pero además cada partido conoce cómo les gustaría a sus votantes que se realizaran las alianzas post electorales, así en el caso de Cs su 30% se desglosaría:
Cs -> PP 11%
Cs -> PSOE 19%
Mientras que PP y PSOE solo admiten alianzas con Cs.
Entonces habría un dilema: la mayoría de Cs quiere una alianza con PSOE, pero la mayoría de votantes prefiere una alianza de Cs con el PP ¿que debe hacer Cs, lo que piden los votantes de Cs o lo que pide la ciudadanía?

Democracia a doble vuelta

En un intento de hacer los partidos políticos más democráticos tal vez se esté cayendo en el efecto contrario. Me refiero a las primarias abiertas y a que sean los potenciales votantes (que no las bases) las que decidan el programa. Y el caso es que es bastante sencillo de explicar: Si los partidos dan voz a toda la ciudadanía para elegir al candidato ... ¿No es ya eso lo que se hace en la elecciones? Y si no voto en las primarias, se mermaría mi derecho a elegir ya que las primarias habrían sesgado a los candidatos a favor de la opinión de aquellos que votan en primarias y en contra de los que no votan.
Aún peor es la elaboración del programa por los potenciales votantes, ya que hacer un programa que guste a la mayoría le gustará a la mayoría aunque sea irrealizable, con efectos secundarios no obvios no deseables o que no vayan a ser aplicados por ir en contra del pensamiento del cargo electo. Se caería en populismo por definición (si la tuviese).

¿Cuánto vale pi? (III)

Una vez l@s alumn@s conocen unas cuantas cifras de pi y siendo conscientes que tiene infinitos decimales, vamos a ver una paradoja de pi en la que parecerá que demostramos que pi es exactamente 4. Para empezar tomamos un cuadrado de lado 1, y por lo tanto de perímetro 4. En dicho cuadrado dibujamos un circulo de diámetro 1, y por lo tanto la longitud de esta circunferencia es pi. Y ahora vamos a ir quitando cuadrados o rectángulos del primer cuadrado, de forma que una esquina siempre toque a la circunferencia, y de forma que no quitaremos nunca superficie del circulo. Cada vez que realizamos este procedimiento el perímetro del polígono resultante no cambia (lo comido por lo servido) por lo que sigue siendo 4, y la superficie se acerca a la del circulo. Llevado al infinito tendremos una figura con perímetro 4 y superficie pi que no se diferencia de un circulo.

¿Y dónde está el truco? Pues que hemos quitado un infinito numerable de rectángulos, por lo que tenemos 'solo' un infinito número de puntos coincidente con la circunferencia. El resto, un infinito no numerable (que es mayor que uno numerable), no coinciden y de ahí la diferencia. Pi sigue siendo 3,14159...

3 falsedades

Un reto en una cartulina:

Si consigues encontrar la tres falsedades, fijate que son tres, y vuelve a comprobarlas.

Cataluña 9N (II): SESGO, TENDENCIOSIDAD Y PARADOJAS

Leo los comentarios de la entrada anterior (Cataluña 9N: SESGO, TENDENCIOSIDAD Y PARADOJAS) en meneame.net y quería hacer ciertas aclaraciones:

1. Parece que se ha entendido la posible paradoja del 9N como un caso excepcional, pero ocurrirá siempre que las dos posiciones extremas (No y Si+Si) no obtengan mayoría  absoluta y la intermedia (Si+No) sea la menor de las tres. Ejemplos (No;Si+No;No+No):  40%;15%;45%      o       35%;30%;35%     o    30%;25%;45%. Hay que darse cuenta que este último ejemplo se parece mucho a una encuesta facilitada: 25%;11,5%;63,5%
2. Este escenario no tiene por que producirse, pero en caso de suceder, habría que leer que la mayoría quiere ser un estado (Si+No y Si+Si) y quieren ser dependientes (No y Si+No), pero esa opción, estado dependiente, sería la minoritaria (Si+No). Este resultado, se lea como se lea, llevaría a una situación en la que la mayoría acabarán defraudados, se haga lo que se haga.
3. El hecho que las encuestas no den un resultado paradójico no justifica que la consulta esté bien hecha. Debían haber presentado una única pregunta del tipo si/no para evitar dobles interpretaciones.
4. Considero que las abstenciones, votos nulos y en blanco se deben omitir de este análisis, siempre y cuando haya una participación suficiente (parecida a otros comicios). Ya que estos se pueden interpretar de demasiadas formas. Es un asunto muy interesante, pero es otro asunto.

Cataluña 9N: SESGO, TENDENCIOSIDAD Y PARADOJAS

Debería ser de todos conocido, que en casi cualquier encuesta, incluyendo elecciones y referendums democráticos, se produce un cierto sesgo. Es decir, no se consigue acceder al 100% de la población, produciendo una modificación de los resultados. Por ejemplo, aquellos que creen que el método de elección de representantes no funciona y que da igual lo que votes, no votarán.

Pero es asombroso el caso del referéndum catalán, en la que una pregunta cierra a la segunda, por lo que la segunda pregunta tendrá un fortísimo sesgo. Las preguntas que formula son: '¿Quiere que Cataluña sea un Estado?' y, en caso de que la respuesta sea afirmativa, '¿Quiere que ese Estado sea independiente?'. Siendo 'Sí' y 'No' las únicas opciones de respuesta.

Pero, además del sesgo, se producen otros problemas: ¿Que pasaría si los resultados fueran los siguientes?: Solo el 36% no quiere que sea un estado, frente a un 64% que si que quiere. Además quieren el estado independiente un 55%. Fijarse que globalmente los resultados serían: No estado 36%, Estado dependiente 28,8% y Estado independiente 35,2%.

 Si se hace un estado independiente se haría en contra del 64,8% que no quieren independencia.

Si no se hace un estado se haría en contra del 64% que si quieren un estado.

Y si se hace un estado dependiente se haría justo lo que quería la minoría del 28,8%.

 Además la pregunta es tendenciosa, al menos a la hora de presentar los resultados. Si las preguntas fuesen: '¿Quiere que Cataluña sea un estado independiente?' y, en caso de que la respuesta sea negativa, '¿Quiere que Cataluña sea un estado que no sea independiente?' los resultados del ejemplo anterior serían: Solo el 35,2% quiere que Cataluña sea un estado independiente. Además no quieren el estado, aunque sea dependiente, el 55,5%.

 Y no solo eso, aquellos que no quieren que Cataluña sea un estado, pero que, en caso de serlo, quieren que este fuera independiente no podrán opinar.