¿Cuánto vale pi? (II)

Una vez queda claro que el número pi es irracional, es decir, tiene infinitos decimales y no hay periodo podemos usar la siguiente adivinanza para aprender unas cuantas cifras:
 Soy y seré a todos definible
 mi nombre tengo que daros
 cociente diametral siempre inmedible
 soy de los redondos aros
                          Numero pi

 Y solo hay que contar el número de letras de cada palabra y se obtiene: 3,141592653589793238462 Y así tenemos 21 decimales aprendidos (aunque no tengan demasiada utilidad a partir del quinto)

Proporcionalidad

¿Que significa que dos magnitudes son, directamente o inversamente, proporcionales? Si el alumno tiene claro el concepto de función pues debería saber que es una relación funcional del tipo f=kx y f=k/x, respectivamente. Pero la mayoría de los alumnos de ESO no tienen claro el concepto de función, y mucho menos en los primeros cursos. Por lo que debemos darles una definición rigurosa y comprensible a la vez.
La definición que doy a mis alumnos es:

"Si el doble de una magnitud siempre implica el doble de la segunda entonces las magnitudes son directamente proporcionales"
"Si el doble de una magnitud siempre implica la mitad de la segunda entonces las magnitudes son inversamente proporcionales"
"en lugar de doble/mitad se puede poner triple/tercio, cuádruple/cuarta parte, etc

Veamos que las condiciones son necesarias y suficientes.
Necesarias: si X=2x
#P. Directa => F(X)=kX=k·2x=2·kx= 2·f(x)
#P. Inversa => F(X)=k/X=k/(2x)=k/x/2=f(x)/2
Suficientes:
#P. Directa f(x)/x=nf(x)/nx=F(X)/X => f/x=k
#P. Inversa f(x)·x= f(x)/n · nx= F(X)·X => f(x)·x=k

OJO: aunque sólo con doble/mitad no es matemáticamente suficiente, para la ESO si que lo es.
contraejemplo con sólo doble/mitad: f(x)=kx·e^(sen(2·pi·lnx/ln2))

¿Es primo el número 1?

Según la definición de primo que usemos, hay dos posibilidades:

1. Un primo número es aquel divisible únicamente entre 1 y entre si mismo.
2. Un primo número es aquel divisible únicamente entre 2 números: 1 y si mismo.

Es esta segunda definición la que suele aceptarse como correcta.

Pero, ¿cuál es la diferencia? Pues que la segunda definición es la forma de decir:

2. Un primo número es aquel divisible únicamente entre 1 y entre si mismo, pero el 1 no es primo.

Y por qué no queremos que el 1 no sea primo, pues para poder decir tranquilamente:
"Todo número natural tiene una única factorización en factores primos", y sino habría que añadir "... salvo producto por la unidad".

¿Y hay alguna diferencia en la didáctica? Pues sí. A la hora de calcular el mcd, los alumnos primero factorizan los números y a continuación usan el "comunes con el menor exponente". Pero ¿que pasa si son coprimos?, es decir, si el mcd es 1, pues que no hay nada en común y el alumnado dirá que no tiene mcd. Se les puede explicar que si no tienen nada en común es que son coprimos y el mcd es 1.

Pero, ¿Por qué introducir un caso particular si se puede usar el caso general? Se debería usar la primera definición de número primo, y en las factorizaciones siempre debería aparecer un '·1' y no habría ningún caso particular. Claro que habría que reenunciar el teorema fundamental de la Aritmética como

"Todo número natural tiene una única factorización en factores primos, salvo producto por la unidad".

Lo cual es totalmente cierto.

El cero si existe

No entiendo el problema que tienen los alumnos con el cero, bueno será que transmitimos mal a los alumnos el concepto de cero. Para empezar, en la asignatura de matemáticas no debería haber ninguna diferencia entre el 0 y el 7, por lo que se deberían de erradicar palabras como 'nadie', 'ningún' ó 'nada' y sustituirse por 'cero personas', 'cero loquesea' y 'cero'.
Se podría pensar que es una simple cuestión semantica, pero cuando te encuentras que en la división se trata al cero de forma distinta a los demás números y que ello da lugar al siguiente error:
- Cuando el dividendo (o la parte de él que estemos dividiendo) es menor que el divisor no se puede dividir: Produce bloqueos en los alumnos ("No se puede dividir") o no poner el 0 en el cociente.
Esto muchos profesores lo solucionan con la famosa frase: "Cero al cociente y bajo la cifra siguiente", que los alumnos aprenden a medias (Como casi con todo) y la empiezan a aplicar cuando bajan ceros (la mayoría de las veces decimales).
Los alumnos también tienen problemas en niveles superiores como a la hora de decir que una variable tiene como valor 0, como por ejemplo en física con las condiciones iniciales o de máxima altura.