¿Cuánto vale pi? (III)

Una vez l@s alumn@s conocen unas cuantas cifras de pi y siendo conscientes que tiene infinitos decimales, vamos a ver una paradoja de pi en la que parecerá que demostramos que pi es exactamente 4. Para empezar tomamos un cuadrado de lado 1, y por lo tanto de perímetro 4. En dicho cuadrado dibujamos un circulo de diámetro 1, y por lo tanto la longitud de esta circunferencia es pi. Y ahora vamos a ir quitando cuadrados o rectángulos del primer cuadrado, de forma que una esquina siempre toque a la circunferencia, y de forma que no quitaremos nunca superficie del circulo. Cada vez que realizamos este procedimiento el perímetro del polígono resultante no cambia (lo comido por lo servido) por lo que sigue siendo 4, y la superficie se acerca a la del circulo. Llevado al infinito tendremos una figura con perímetro 4 y superficie pi que no se diferencia de un circulo.

¿Y dónde está el truco? Pues que hemos quitado un infinito numerable de rectángulos, por lo que tenemos 'solo' un infinito número de puntos coincidente con la circunferencia. El resto, un infinito no numerable (que es mayor que uno numerable), no coinciden y de ahí la diferencia. Pi sigue siendo 3,14159...

¿Cuánto vale pi? (II)

Una vez queda claro que el número pi es irracional, es decir, tiene infinitos decimales y no hay periodo podemos usar la siguiente adivinanza para aprender unas cuantas cifras:
 Soy y seré a todos definible
 mi nombre tengo que daros
 cociente diametral siempre inmedible
 soy de los redondos aros
                          Numero pi

 Y solo hay que contar el número de letras de cada palabra y se obtiene: 3,141592653589793238462 Y así tenemos 21 decimales aprendidos (aunque no tengan demasiada utilidad a partir del quinto)

¿Cuanto vale pi?

Todo el mundo debería saber que pi es irracional, vamos que tiene infinitos decimales y que no son periódicos. Los alumnos también. Pero cuando pregunto mis alumnos aseguran que pi es o 3,14 ó 3,1416 (y llegan a discutir entre ellos para ver quien tiene razón). Así que hay que explicarles que esos valores son aproximaciones. Y tras la explicación, si se les dice que lo pueden aproximar a 3,14 con el único mensaje que obtienen es que pi es 3,14 (No hay más que volverles a preguntar cuál es el valor de pi).
Y yo me pregunto: ¿Por qué no podemos aproximar pi a 3?, es una aproximación peor que 3,14 pero 3,14 es peor que 3,1416 y elijamos lo que elijamos siempre será una aproximación. Así que mis alumnos tienen que escribir

y así dejamos claro que es una aproximación y podemos hacer exámenes sin calculadora.