Proporcionalidad 2

Una vez se han detectado que dos magnitudes son proporcionales (directa o inversa) hay que usar esta información para resolver un problema. Este siempre consistirá en: dadas las dos magnitudes en una situación, calcular que le pasa a una magnitud cuando a la otra le cambia el valor.
Para resolver el problema hay diferentes posibilidades:
1. Regla de tres.
2. Reducción a la unidad/Constante de proporcionalidad/Razón...
3. Uso de funciones, resolver mediante ecuaciones.

Dado que la tercera opción necesita unos conocimientos previos que no se empiezan a alcanzar hasta 2ºESO, hay que descartarla para niveles inferiores (incluso hasta tercero es posible que no dominen ni funciones ni ecuaciones).

Para elegir entre las dos primeras opciones hay que tener en cuenta dos aspectos: El que la mayoría de los alumnos consigan resolver los problemas y la utilidad del método en problemas mas complejos, para futuros problemas.
Muchos profesores sólo tienen en cuenta otro aspecto: el que los alumnos entiendan lo que hacen, por lo que optan por el segundo método. Pero, en mi opinión los alumnos que lo entiendan lo entenderán independientemente del método usado, por lo que hay que intentar que los que no lo entiendan puedan resolver estos, y futuros, problemas correctamente y que nos se les cierre la posibilidad de entenderlo en un futuro.
Por lo que, siempre en mi opinión, el mejor método es el primero (la regla de tres): Es sistemática para ambos tipos de proporcionalidad (directa e inversa) por lo que es más accesible a los alumnos y además se puede usar para los problemas de porcentajes (tanto incrementos como decrementos porcentuales hacia alante y hacia atrás, teniendo en cuenta que el 100% es todo o la cantidad inicial), también se puede usar para los problemas de proporcionalidad compuesta (haciendo 2 reglas de tres). Aunque para los porcentajes encadenados (interés compuesto) sería mejor con la razón.

La ley d'Hondt

Oimos voces en contra de la ley de d'Hondt, saben como se aplica (no hay más que mirar la wikipedia). Pero, ¿saben el por qué?.
El problema al que se enfrenta es el del reparto discreto: muchos votos para pocos escaños. Obviamente no puede hacerse un reparto completamente proporcional, ya que no puede haber escaños fraccionarios. ¿Y a quién le damos los que sobran? Pues Victor d'Hondt pensó en ponerles "precio" a los escaños. El "precio" final de los escaños sería aquel en el que se "vendiesen" todos los escaños.
Así si el partido A tiene 1000 votos, si "compra" un solo escaño podría pagar hasta 1000/1 votos. Si "comprase" dos escaños podría pagar hasta 1000/2=500 votos. Tres escaños, 1000/3 votos. Etc.
Por lo que la ley de d'Hondt simplemente busca el "precio" máximo por escaño. Cualquier otro tipo de reparto sería injusto, en el sentido que alguien consigue con menos votos mas escaños, por ejemplo si hay 2 escaños y el partido A tiene 1000 votos y el partido B tiene 499, ambos se los tendrían que llevar el partido A (500 votos por escaño), si en cambio fuera un escaño a cada partido al partido A le costaría 1000 votos y al B solo 499.

Otra cosa son los temas de las circunscripciones y las cuotas de poder.

Proporcionalidad

¿Que significa que dos magnitudes son, directamente o inversamente, proporcionales? Si el alumno tiene claro el concepto de función pues debería saber que es una relación funcional del tipo f=kx y f=k/x, respectivamente. Pero la mayoría de los alumnos de ESO no tienen claro el concepto de función, y mucho menos en los primeros cursos. Por lo que debemos darles una definición rigurosa y comprensible a la vez.
La definición que doy a mis alumnos es:

"Si el doble de una magnitud siempre implica el doble de la segunda entonces las magnitudes son directamente proporcionales"
"Si el doble de una magnitud siempre implica la mitad de la segunda entonces las magnitudes son inversamente proporcionales"
"en lugar de doble/mitad se puede poner triple/tercio, cuádruple/cuarta parte, etc

Veamos que las condiciones son necesarias y suficientes.
Necesarias: si X=2x
#P. Directa => F(X)=kX=k·2x=2·kx= 2·f(x)
#P. Inversa => F(X)=k/X=k/(2x)=k/x/2=f(x)/2
Suficientes:
#P. Directa f(x)/x=nf(x)/nx=F(X)/X => f/x=k
#P. Inversa f(x)·x= f(x)/n · nx= F(X)·X => f(x)·x=k

OJO: aunque sólo con doble/mitad no es matemáticamente suficiente, para la ESO si que lo es.
contraejemplo con sólo doble/mitad: f(x)=kx·e^(sen(2·pi·lnx/ln2))

¿Cuanto vale pi?

Todo el mundo debería saber que pi es irracional, vamos que tiene infinitos decimales y que no son periódicos. Los alumnos también. Pero cuando pregunto mis alumnos aseguran que pi es o 3,14 ó 3,1416 (y llegan a discutir entre ellos para ver quien tiene razón). Así que hay que explicarles que esos valores son aproximaciones. Y tras la explicación, si se les dice que lo pueden aproximar a 3,14 con el único mensaje que obtienen es que pi es 3,14 (No hay más que volverles a preguntar cuál es el valor de pi).
Y yo me pregunto: ¿Por qué no podemos aproximar pi a 3?, es una aproximación peor que 3,14 pero 3,14 es peor que 3,1416 y elijamos lo que elijamos siempre será una aproximación. Así que mis alumnos tienen que escribir

y así dejamos claro que es una aproximación y podemos hacer exámenes sin calculadora.

¿Es primo el número 1?

Según la definición de primo que usemos, hay dos posibilidades:

1. Un primo número es aquel divisible únicamente entre 1 y entre si mismo.
2. Un primo número es aquel divisible únicamente entre 2 números: 1 y si mismo.

Es esta segunda definición la que suele aceptarse como correcta.

Pero, ¿cuál es la diferencia? Pues que la segunda definición es la forma de decir:

2. Un primo número es aquel divisible únicamente entre 1 y entre si mismo, pero el 1 no es primo.

Y por qué no queremos que el 1 no sea primo, pues para poder decir tranquilamente:
"Todo número natural tiene una única factorización en factores primos", y sino habría que añadir "... salvo producto por la unidad".

¿Y hay alguna diferencia en la didáctica? Pues sí. A la hora de calcular el mcd, los alumnos primero factorizan los números y a continuación usan el "comunes con el menor exponente". Pero ¿que pasa si son coprimos?, es decir, si el mcd es 1, pues que no hay nada en común y el alumnado dirá que no tiene mcd. Se les puede explicar que si no tienen nada en común es que son coprimos y el mcd es 1.

Pero, ¿Por qué introducir un caso particular si se puede usar el caso general? Se debería usar la primera definición de número primo, y en las factorizaciones siempre debería aparecer un '·1' y no habría ningún caso particular. Claro que habría que reenunciar el teorema fundamental de la Aritmética como

"Todo número natural tiene una única factorización en factores primos, salvo producto por la unidad".

Lo cual es totalmente cierto.

El cero si existe

No entiendo el problema que tienen los alumnos con el cero, bueno será que transmitimos mal a los alumnos el concepto de cero. Para empezar, en la asignatura de matemáticas no debería haber ninguna diferencia entre el 0 y el 7, por lo que se deberían de erradicar palabras como 'nadie', 'ningún' ó 'nada' y sustituirse por 'cero personas', 'cero loquesea' y 'cero'.
Se podría pensar que es una simple cuestión semantica, pero cuando te encuentras que en la división se trata al cero de forma distinta a los demás números y que ello da lugar al siguiente error:
- Cuando el dividendo (o la parte de él que estemos dividiendo) es menor que el divisor no se puede dividir: Produce bloqueos en los alumnos ("No se puede dividir") o no poner el 0 en el cociente.
Esto muchos profesores lo solucionan con la famosa frase: "Cero al cociente y bajo la cifra siguiente", que los alumnos aprenden a medias (Como casi con todo) y la empiezan a aplicar cuando bajan ceros (la mayoría de las veces decimales).
Los alumnos también tienen problemas en niveles superiores como a la hora de decir que una variable tiene como valor 0, como por ejemplo en física con las condiciones iniciales o de máxima altura.