La ley d'Hondt

Oimos voces en contra de la ley de d'Hondt, saben como se aplica (no hay más que mirar la wikipedia). Pero, ¿saben el por qué?.
El problema al que se enfrenta es el del reparto discreto: muchos votos para pocos escaños. Obviamente no puede hacerse un reparto completamente proporcional, ya que no puede haber escaños fraccionarios. ¿Y a quién le damos los que sobran? Pues Victor d'Hondt pensó en ponerles "precio" a los escaños. El "precio" final de los escaños sería aquel en el que se "vendiesen" todos los escaños.
Así si el partido A tiene 1000 votos, si "compra" un solo escaño podría pagar hasta 1000/1 votos. Si "comprase" dos escaños podría pagar hasta 1000/2=500 votos. Tres escaños, 1000/3 votos. Etc.
Por lo que la ley de d'Hondt simplemente busca el "precio" máximo por escaño. Cualquier otro tipo de reparto sería injusto, en el sentido que alguien consigue con menos votos mas escaños, por ejemplo si hay 2 escaños y el partido A tiene 1000 votos y el partido B tiene 499, ambos se los tendrían que llevar el partido A (500 votos por escaño), si en cambio fuera un escaño a cada partido al partido A le costaría 1000 votos y al B solo 499.

Otra cosa son los temas de las circunscripciones y las cuotas de poder.

Proporcionalidad

¿Que significa que dos magnitudes son, directamente o inversamente, proporcionales? Si el alumno tiene claro el concepto de función pues debería saber que es una relación funcional del tipo f=kx y f=k/x, respectivamente. Pero la mayoría de los alumnos de ESO no tienen claro el concepto de función, y mucho menos en los primeros cursos. Por lo que debemos darles una definición rigurosa y comprensible a la vez.
La definición que doy a mis alumnos es:

"Si el doble de una magnitud siempre implica el doble de la segunda entonces las magnitudes son directamente proporcionales"
"Si el doble de una magnitud siempre implica la mitad de la segunda entonces las magnitudes son inversamente proporcionales"
"en lugar de doble/mitad se puede poner triple/tercio, cuádruple/cuarta parte, etc

Veamos que las condiciones son necesarias y suficientes.
Necesarias: si X=2x
#P. Directa => F(X)=kX=k·2x=2·kx= 2·f(x)
#P. Inversa => F(X)=k/X=k/(2x)=k/x/2=f(x)/2
Suficientes:
#P. Directa f(x)/x=nf(x)/nx=F(X)/X => f/x=k
#P. Inversa f(x)·x= f(x)/n · nx= F(X)·X => f(x)·x=k

OJO: aunque sólo con doble/mitad no es matemáticamente suficiente, para la ESO si que lo es.
contraejemplo con sólo doble/mitad: f(x)=kx·e^(sen(2·pi·lnx/ln2))