¿Cuánto vale pi? (III)

Una vez l@s alumn@s conocen unas cuantas cifras de pi y siendo conscientes que tiene infinitos decimales, vamos a ver una paradoja de pi en la que parecerá que demostramos que pi es exactamente 4. Para empezar tomamos un cuadrado de lado 1, y por lo tanto de perímetro 4. En dicho cuadrado dibujamos un circulo de diámetro 1, y por lo tanto la longitud de esta circunferencia es pi. Y ahora vamos a ir quitando cuadrados o rectángulos del primer cuadrado, de forma que una esquina siempre toque a la circunferencia, y de forma que no quitaremos nunca superficie del circulo. Cada vez que realizamos este procedimiento el perímetro del polígono resultante no cambia (lo comido por lo servido) por lo que sigue siendo 4, y la superficie se acerca a la del circulo. Llevado al infinito tendremos una figura con perímetro 4 y superficie pi que no se diferencia de un circulo.

¿Y dónde está el truco? Pues que hemos quitado un infinito numerable de rectángulos, por lo que tenemos 'solo' un infinito número de puntos coincidente con la circunferencia. El resto, un infinito no numerable (que es mayor que uno numerable), no coinciden y de ahí la diferencia. Pi sigue siendo 3,14159...

El valor de 0⁰ (cero elevado a cero)

El valor de 0⁰ esta indefinido, al menos hasta donde yo tengo conocimiento. No debemos confundir este valor con la indeterminación de los límites tipo 0⁰, ya que estos evalúan una función en el entorno y no en el punto.

Si quisiéramos darle un valor este debería ser o 0 o 1. El argumento típico es que cualquier cosa elevada a 0 es 1 y que 0 elevado a cualquier cosa es 0. Pero si estamos dando el valor que nos da la gana ¿No podría ser cualquiera? Ya que siempre vamos a incumplir.

Veamos que hay una sencilla demostración que sólo nos deja dar 0 o 1. Sabemos que (0⁰)²=0⁰, por lo que x²=x cuya solución es 0⁰=x=0 o 1.

Ahora bien, ninguna de estas dos soluciones nos lleva a una contradicción, hay que tener cuidado con propiedades como ∑(X^N) o (A+B)^N, que habitualmente se escriben como:
 ∑(Xⁱ)=[X^(N+1)-1]/(X-1)
 (A+B)^N=∑[(i N)Aⁱ·B^(N-i)]
Cuando deberían ser:
 ∑(Xⁱ)=[X^(N+1)-X⁰]/(X-1)
 (A+B)^N=A^N+B^N+∑[(i N)Aⁱ·B^(N-i)]
, sólo valida para N>0 Que para el caso que nos interesa quedan:
 ∑(0ⁱ)=[0-0⁰]/(0-1)=0⁰
 (A)^N=A^N+0, independiente del valor de 0⁰, salvo A=0 que queda la identidad 0⁰=0⁰
Tampoco se pueden usar propiedades que usen divisiones entre 0.

Por supuesto tenemos que descartar la posibilidad de quedarnos con las dos soluciones, ya que no estamos frente a una ecuación, en la que puede haber varias soluciones, sino frente a una función que sólo admite, si está definida, un único valor.

Llegados a este punto tenemos tres opciones:
1. Dejar la función sin definir en 0⁰
2. Definir 0⁰=0
3. Definir 0⁰=1
Y hay que dejar claro que las dos últimas opciones serían definiciones arbitrarias, por lo que, aunque hubiese consenso, no podría considerarse de ninguna forma que se puede excluir la otra alternativa.
Además estaría por ver si esta definición tiene algún tipo de efecto en algún resultado matemático o por el contrario no afecta a nada.
Tampoco hay que olvidar los efectos prácticos, y en este  caso habría que inclinarse por la opción 0⁰=1, ya que en este caso si que se podría escribir:
 ∑(Xⁱ)=[X^(N+1)-1]/(X-1)
 (A+B)^N=∑[(i N)Aⁱ·B^(N-i)]
Así lo hacen varias calculadoras, por ejemplo la de google.

¿Cuánto vale pi? (II)

Una vez queda claro que el número pi es irracional, es decir, tiene infinitos decimales y no hay periodo podemos usar la siguiente adivinanza para aprender unas cuantas cifras:
 Soy y seré a todos definible
 mi nombre tengo que daros
 cociente diametral siempre inmedible
 soy de los redondos aros
                          Numero pi

 Y solo hay que contar el número de letras de cada palabra y se obtiene: 3,141592653589793238462 Y así tenemos 21 decimales aprendidos (aunque no tengan demasiada utilidad a partir del quinto)