El valor de 0⁰ (cero elevado a cero) II

Tras argumentar, en la entrada anterior, que a 0⁰ se le puede dar el valor 0 o 1, y no es mas que una cuestión de definición, voy a ver una 'demostración' de 0⁰=1 (con la que obviamente discrepo).
La definición que usa esta 'demostración' de a^b es: si A y B son dos conjuntos, se define B^A (el símbolo ^ significa “elevado a la”) como el conjunto formado por todas las funciones de A en B. Otra definición equivalente, que es la que uso aquí es la combinatoria, que considero mas intuitiva. La definición de a^b en este caso es el número de permutaciones con repetición de a elementos tomados de b en b. Y es fácil asociar a cada permutación con una función de B en A.
Está claro que estas definiciones son correctas para valores a y b enteros positivos. También está claro que esta definición no es válida para racionales ni para negativos ¿Y para cero? Pues tampoco está hecha pensando en cero, pero podríamos ver que pasa si extendemos la definición al cero.
Según ciertas interpretaciones, si el exponente es cero, y la base no, tendríamos a elementos tomados de cero en cero ¿De cuántas formas se pueden tomar? Pues de una única forma, no tomando nada
Si la base es cero, y el exponente no, hay que coger cero elementos de b en b. Pero eso no es posible ya que no se pueden coger 0 elementos de ninguna forma. Por lo que hay 0 formas.

Parece bien argumentando pero no deja de estar cogido por los pelos.¿No coger nada es una forma o no es ninguna? Es una, es una. Es la |{()}|, o lo que es lo mismo |{(Ø)}|. Bien, si admitimos Ø como elemento ¿no deberíamos admitir coger Ø como elemento en todos los casos? En este caso podríamos coger b Ø, quedando |{(Ø, Ø, Ø, Ø, Ø)}| y sería 1 forma . Pero en este caso tendríamos 1 elemento más y sería imposible tener 0 elementos.
Bueno, y qué pasa con 0^0. Pues que depende de lo que se considere primero. Si se considera que no tiene sentido coger 0 elementos la respuesta será 0, en cambio si se considera que no coger nada es una forma de coger algo, la respuesta será 1.
Volviendo a la definición de teoría de conjuntos esta claro que el problema está en el elemento vacío. Si se admite como válido como función pero no como elemento tendremos que 0^0=1, pero si se admite como elemento tendremos que 0^0=0, por lo que no deja de ser una cuestión de definición o, dicho de otra forma, de interpretación.

El valor de 0⁰ (cero elevado a cero)

El valor de 0⁰ esta indefinido, al menos hasta donde yo tengo conocimiento. No debemos confundir este valor con la indeterminación de los límites tipo 0⁰, ya que estos evalúan una función en el entorno y no en el punto.

Si quisiéramos darle un valor este debería ser o 0 o 1. El argumento típico es que cualquier cosa elevada a 0 es 1 y que 0 elevado a cualquier cosa es 0. Pero si estamos dando el valor que nos da la gana ¿No podría ser cualquiera? Ya que siempre vamos a incumplir.

Veamos que hay una sencilla demostración que sólo nos deja dar 0 o 1. Sabemos que (0⁰)²=0⁰, por lo que x²=x cuya solución es 0⁰=x=0 o 1.

Ahora bien, ninguna de estas dos soluciones nos lleva a una contradicción, hay que tener cuidado con propiedades como ∑(X^N) o (A+B)^N, que habitualmente se escriben como:
 ∑(Xⁱ)=[X^(N+1)-1]/(X-1)
 (A+B)^N=∑[(i N)Aⁱ·B^(N-i)]
Cuando deberían ser:
 ∑(Xⁱ)=[X^(N+1)-X⁰]/(X-1)
 (A+B)^N=A^N+B^N+∑[(i N)Aⁱ·B^(N-i)]
, sólo valida para N>0 Que para el caso que nos interesa quedan:
 ∑(0ⁱ)=[0-0⁰]/(0-1)=0⁰
 (A)^N=A^N+0, independiente del valor de 0⁰, salvo A=0 que queda la identidad 0⁰=0⁰
Tampoco se pueden usar propiedades que usen divisiones entre 0.

Por supuesto tenemos que descartar la posibilidad de quedarnos con las dos soluciones, ya que no estamos frente a una ecuación, en la que puede haber varias soluciones, sino frente a una función que sólo admite, si está definida, un único valor.

Llegados a este punto tenemos tres opciones:
1. Dejar la función sin definir en 0⁰
2. Definir 0⁰=0
3. Definir 0⁰=1
Y hay que dejar claro que las dos últimas opciones serían definiciones arbitrarias, por lo que, aunque hubiese consenso, no podría considerarse de ninguna forma que se puede excluir la otra alternativa.
Además estaría por ver si esta definición tiene algún tipo de efecto en algún resultado matemático o por el contrario no afecta a nada.
Tampoco hay que olvidar los efectos prácticos, y en este  caso habría que inclinarse por la opción 0⁰=1, ya que en este caso si que se podría escribir:
 ∑(Xⁱ)=[X^(N+1)-1]/(X-1)
 (A+B)^N=∑[(i N)Aⁱ·B^(N-i)]
Así lo hacen varias calculadoras, por ejemplo la de google.