Proporcionalidad

¿Que significa que dos magnitudes son, directamente o inversamente, proporcionales? Si el alumno tiene claro el concepto de función pues debería saber que es una relación funcional del tipo f=kx y f=k/x, respectivamente. Pero la mayoría de los alumnos de ESO no tienen claro el concepto de función, y mucho menos en los primeros cursos. Por lo que debemos darles una definición rigurosa y comprensible a la vez.
La definición que doy a mis alumnos es:

"Si el doble de una magnitud siempre implica el doble de la segunda entonces las magnitudes son directamente proporcionales"
"Si el doble de una magnitud siempre implica la mitad de la segunda entonces las magnitudes son inversamente proporcionales"
"en lugar de doble/mitad se puede poner triple/tercio, cuádruple/cuarta parte, etc

Veamos que las condiciones son necesarias y suficientes.
Necesarias: si X=2x
#P. Directa => F(X)=kX=k·2x=2·kx= 2·f(x)
#P. Inversa => F(X)=k/X=k/(2x)=k/x/2=f(x)/2
Suficientes:
#P. Directa f(x)/x=nf(x)/nx=F(X)/X => f/x=k
#P. Inversa f(x)·x= f(x)/n · nx= F(X)·X => f(x)·x=k

OJO: aunque sólo con doble/mitad no es matemáticamente suficiente, para la ESO si que lo es.
contraejemplo con sólo doble/mitad: f(x)=kx·e^(sen(2·pi·lnx/ln2))