El valor de 0⁰ (cero elevado a cero)

El valor de 0⁰ esta indefinido, al menos hasta donde yo tengo conocimiento. No debemos confundir este valor con la indeterminación de los límites tipo 0⁰, ya que estos evalúan una función en el entorno y no en el punto.

Si quisiéramos darle un valor este debería ser o 0 o 1. El argumento típico es que cualquier cosa elevada a 0 es 1 y que 0 elevado a cualquier cosa es 0. Pero si estamos dando el valor que nos da la gana ¿No podría ser cualquiera? Ya que siempre vamos a incumplir.

Veamos que hay una sencilla demostración que sólo nos deja dar 0 o 1. Sabemos que (0⁰)²=0⁰, por lo que x²=x cuya solución es 0⁰=x=0 o 1.

Ahora bien, ninguna de estas dos soluciones nos lleva a una contradicción, hay que tener cuidado con propiedades como ∑(X^N) o (A+B)^N, que habitualmente se escriben como:
 ∑(Xⁱ)=[X^(N+1)-1]/(X-1)
 (A+B)^N=∑[(i N)Aⁱ·B^(N-i)]
Cuando deberían ser:
 ∑(Xⁱ)=[X^(N+1)-X⁰]/(X-1)
 (A+B)^N=A^N+B^N+∑[(i N)Aⁱ·B^(N-i)]
, sólo valida para N>0 Que para el caso que nos interesa quedan:
 ∑(0ⁱ)=[0-0⁰]/(0-1)=0⁰
 (A)^N=A^N+0, independiente del valor de 0⁰, salvo A=0 que queda la identidad 0⁰=0⁰
Tampoco se pueden usar propiedades que usen divisiones entre 0.

Por supuesto tenemos que descartar la posibilidad de quedarnos con las dos soluciones, ya que no estamos frente a una ecuación, en la que puede haber varias soluciones, sino frente a una función que sólo admite, si está definida, un único valor.

Llegados a este punto tenemos tres opciones:
1. Dejar la función sin definir en 0⁰
2. Definir 0⁰=0
3. Definir 0⁰=1
Y hay que dejar claro que las dos últimas opciones serían definiciones arbitrarias, por lo que, aunque hubiese consenso, no podría considerarse de ninguna forma que se puede excluir la otra alternativa.
Además estaría por ver si esta definición tiene algún tipo de efecto en algún resultado matemático o por el contrario no afecta a nada.
Tampoco hay que olvidar los efectos prácticos, y en este  caso habría que inclinarse por la opción 0⁰=1, ya que en este caso si que se podría escribir:
 ∑(Xⁱ)=[X^(N+1)-1]/(X-1)
 (A+B)^N=∑[(i N)Aⁱ·B^(N-i)]
Así lo hacen varias calculadoras, por ejemplo la de google.