Cuando importa de que se habla

Este post va a tratar un tema fundamental de los temas de fracciones y porcentajes: las unidades. El típico problema de la mitad de la mitad. Y es fundamental por la importancia que tiene en la vida diaria y la dificultad que tienen los alumnos a entenderlo.
Tenemos ejemplos por todas partes, como es el descuento del 10% en el término fijo de la luz, que puede ser un 10% de la factura por lo que el descuento real solo es de un 1%. O cuando se dice que el crecimiento del 2% de EEUU es menor que el 3% español.

El caso que me ocupa ahora es la devolución en España de 44 días de la paga extra de la navidad del 2012. El caso es que en dicho año, con la crisis, el gobierno español decidió quitar la 2ª paga extra, la de navidad, a los funcionarios. Pero tenía que haberlo aprobado antes de Julio y lo hizo 44 días tarde. Esto es así ya que la paga extra no es un regalo de navidad, sino que forma parte del contrato, cada día que se trabaja se acumula un dinero en una bolsa que se entrega cada 6 meses. Y esto es lo que se ha estado resolviendo en muchos juzgados, que esta norma no podía tener carácter retroactivo y hay que pagar los 44 días.

Hasta aquí lo que pasó previamente. Ahora (2015) el gobierno, sin entrar en las causas, ha decidido devolver 44 días de esa paga extra. La pregunta es ¿Qué 44 días?, porque vamos a ver que no es lo mismo.
Por ejemplo, a los funcionarios de educación de la CAM, se ha decidido que se les devolverán esos 44 días de la misma forma que se pagan a los funcionarios que sólo trabajan 44 días: de forma proporcional.
Pero veamos que ocurre en los casos extremos. Si un trabajador trabajó solamente esos 44 primeros días recibirá un 25%(aprox.) de la paga extra, es decir unos 11 días. Por otro lado si un trabajador trabajó todo el tiempo, salvo justo esos 44 primeros días, entonces este recibirá un 75%(aprox.).

Por lo tanto, no se ha devuelto la parte correspondiente a los días hasta que entró en vigor la norma, ya que si hubiese sido así al primer trabajador, que trabajó esos 44 días, tendría que recibir el 100% de los 44 días, mientras que el que no trabajó ninguno no debería haber recibido nada.
Si solo se han devuelto 11 de los 44 primeros días a todos los funcionarios de educación de la CAM que trabajasen esos 44 primeros días, todavía pueden exigir los 33 restantes, independientemente de cuántos días trabajaran después. Y esto pasa simplemente por no saber matemáticas, por no saber que no es lo mismo una fracción del total que el total de una fracción cuando esa fracción divide cosas distintas.
Vamos, que no es lo mismo devolver 44 días de la paga extra que devolver los primeros 44 días de la paga extra.

Vamos a ver un ejemplo de una situación análoga:

Supongamos que a un grupo de 24 alumnos se les dice que, semanalmente, un alumno hará un trabajo extra que deberá presentar después a la clase. Y aquellos que lo hagan bien serán premiados con un pastelito en una fiesta al final de año.

Como es una clase muy golosa, todos los alumnos tienen intención de hacer una buena exposición cuando les toque su turno, pero con la crisis el profesor decide, cuando ya ha habido 6 exposiciones brillantes, que no va a dar ningún pastelito.

Obviamente los alumnos se quejan, y el profesor, viendo que le van a llamar la atención, decide dar 6 pasteles a toda la clase para cumplir con las exposiciones ya realizadas.

Los 6 pastelitos se reparten por la clase, ya que no se especificó que fueran para los 6 alumnos que expusieron, que igual que todos los alumnos solo reciben 1/4 de pastelito.

El profesor no entiende por qué la clase (6 alumnos) continúa quejándose de que todavía les faltan 6·3/4=4,5 pastelitos.

Tiempo, ladrón de guante blanco (II)

Sigamos viendo como, con tiempo, podemos ser de alguna forma robados.
Una forma sutil, son los plazos. Pongamos por ejemplo la I.T.V. (inspección técnica de vehículos, revisión obligatoria de los vehículos en España). Esta inspección debe pasarse cada cierto tiempo, que por simplicidad vamos a suponer un año (en realidad depende del tipo de vehículo y su edad), y obviamente,  cuesta dinero. Si se supera este periodo de tiempo hay que enfrentarse a una multa automática aunque el coche esté aparcado en un garaje.
Así son las cosas, y no me parece mal. Pero veamos donde está el problema. Si la multa es automática, con pasarse un día podríamos recibir en casa una multa (no sé si hay algunos días de cortesía, y no voy a comprobarlo) por lo que se realizará antes de vencer el año, momento en el que empieza a contabilizarse el siguiente periodo. Se podrá hacer un día antes, una semana o un mes, dependerá de si se va a estar en dicha fecha para hacer la inspección (Se puede estar de viaje) o si se quiere estar seguro de tener tiempo de reacción para el caso de no pasarla. El caso es que, a efectos prácticos, me están obligando a pasarla no cada año, sino digamos cada 11 meses y medio (lo cual a efectos prácticos es mejor porque los vehículos estarán en mejor estado, pero eso es otro asunto).
La solución sería bastante sencilla, simplemente al pasarla durante el último mes de vigencia se prorrogase un año a partir de la fecha de caducidad y no de la fecha de realización de la inspección.

Tiempo, el ladrón de guante blanco.(I)

Quien dice tiempo dice sistema, aunque si se quiere se puede personalizar mas.
Vamos a ver la primera forma de robo, perdón hurto, de nuestro tiempo. Se llama inflacción. Sin entrar en el fondo, ni su origen ni quienes son sus beneficiarios, vamos a ver a cuanto asciende el tema.
Para ver que es un robo sólo hay que pensar que si vendo mi vaca por 100€ y espero un año (con una inflacción del 3%) necesitaré 103€ para recuperarla, y no será porque el nuevo dueño quiera más dinero sino porque no quiere perderlo (Y lo perderá el que tenga el dinero). Para saber cuánto de mi dinero quedará después de este año con el 3% de inflacción tengo que dividir entre 1,03 lo que es equivalente a multiplicar por 0,97087. Es decir nos roban casi un 3% anual.
Ahora faltaría por ver cuanto nos cuesta por persona. En 2013 había en circulación 1 000 000 de millones de €. Por lo que, solo de dinero en circulación, estaríamos hablando de 30 000 millones de € anuales. Que para 750 millones de habitantes europeos sale a 40€ por persona.
Y ojo que no son acumulables, de la misma forma que no lo son los porcentajes. Así el 3% anual en una década es un 34%, en dos décadas un 81% y en 50 años un 338%. Por lo que nos roban un 25,6% en una década, 44% en dos y un 77% en 50 años (y no digo para mas años ya que yo ya seré demasiado mayor).

El valor de 0⁰ (cero elevado a cero) II

Tras argumentar, en la entrada anterior, que a 0⁰ se le puede dar el valor 0 o 1, y no es mas que una cuestión de definición, voy a ver una 'demostración' de 0⁰=1 (con la que obviamente discrepo).
La definición que usa esta 'demostración' de a^b es: si A y B son dos conjuntos, se define B^A (el símbolo ^ significa “elevado a la”) como el conjunto formado por todas las funciones de A en B. Otra definición equivalente, que es la que uso aquí es la combinatoria, que considero mas intuitiva. La definición de a^b en este caso es el número de permutaciones con repetición de a elementos tomados de b en b. Y es fácil asociar a cada permutación con una función de B en A.
Está claro que estas definiciones son correctas para valores a y b enteros positivos. También está claro que esta definición no es válida para racionales ni para negativos ¿Y para cero? Pues tampoco está hecha pensando en cero, pero podríamos ver que pasa si extendemos la definición al cero.
Según ciertas interpretaciones, si el exponente es cero, y la base no, tendríamos a elementos tomados de cero en cero ¿De cuántas formas se pueden tomar? Pues de una única forma, no tomando nada
Si la base es cero, y el exponente no, hay que coger cero elementos de b en b. Pero eso no es posible ya que no se pueden coger 0 elementos de ninguna forma. Por lo que hay 0 formas.

Parece bien argumentando pero no deja de estar cogido por los pelos.¿No coger nada es una forma o no es ninguna? Es una, es una. Es la |{()}|, o lo que es lo mismo |{(Ø)}|. Bien, si admitimos Ø como elemento ¿no deberíamos admitir coger Ø como elemento en todos los casos? En este caso podríamos coger b Ø, quedando |{(Ø, Ø, Ø, Ø, Ø)}| y sería 1 forma . Pero en este caso tendríamos 1 elemento más y sería imposible tener 0 elementos.
Bueno, y qué pasa con 0^0. Pues que depende de lo que se considere primero. Si se considera que no tiene sentido coger 0 elementos la respuesta será 0, en cambio si se considera que no coger nada es una forma de coger algo, la respuesta será 1.
Volviendo a la definición de teoría de conjuntos esta claro que el problema está en el elemento vacío. Si se admite como válido como función pero no como elemento tendremos que 0^0=1, pero si se admite como elemento tendremos que 0^0=0, por lo que no deja de ser una cuestión de definición o, dicho de otra forma, de interpretación.

¿Cuánto vale pi? (III)

Una vez l@s alumn@s conocen unas cuantas cifras de pi y siendo conscientes que tiene infinitos decimales, vamos a ver una paradoja de pi en la que parecerá que demostramos que pi es exactamente 4. Para empezar tomamos un cuadrado de lado 1, y por lo tanto de perímetro 4. En dicho cuadrado dibujamos un circulo de diámetro 1, y por lo tanto la longitud de esta circunferencia es pi. Y ahora vamos a ir quitando cuadrados o rectángulos del primer cuadrado, de forma que una esquina siempre toque a la circunferencia, y de forma que no quitaremos nunca superficie del circulo. Cada vez que realizamos este procedimiento el perímetro del polígono resultante no cambia (lo comido por lo servido) por lo que sigue siendo 4, y la superficie se acerca a la del circulo. Llevado al infinito tendremos una figura con perímetro 4 y superficie pi que no se diferencia de un circulo.

¿Y dónde está el truco? Pues que hemos quitado un infinito numerable de rectángulos, por lo que tenemos 'solo' un infinito número de puntos coincidente con la circunferencia. El resto, un infinito no numerable (que es mayor que uno numerable), no coinciden y de ahí la diferencia. Pi sigue siendo 3,14159...

El valor de 0⁰ (cero elevado a cero)

El valor de 0⁰ esta indefinido, al menos hasta donde yo tengo conocimiento. No debemos confundir este valor con la indeterminación de los límites tipo 0⁰, ya que estos evalúan una función en el entorno y no en el punto.

Si quisiéramos darle un valor este debería ser o 0 o 1. El argumento típico es que cualquier cosa elevada a 0 es 1 y que 0 elevado a cualquier cosa es 0. Pero si estamos dando el valor que nos da la gana ¿No podría ser cualquiera? Ya que siempre vamos a incumplir.

Veamos que hay una sencilla demostración que sólo nos deja dar 0 o 1. Sabemos que (0⁰)²=0⁰, por lo que x²=x cuya solución es 0⁰=x=0 o 1.

Ahora bien, ninguna de estas dos soluciones nos lleva a una contradicción, hay que tener cuidado con propiedades como ∑(X^N) o (A+B)^N, que habitualmente se escriben como:
 ∑(Xⁱ)=[X^(N+1)-1]/(X-1)
 (A+B)^N=∑[(i N)Aⁱ·B^(N-i)]
Cuando deberían ser:
 ∑(Xⁱ)=[X^(N+1)-X⁰]/(X-1)
 (A+B)^N=A^N+B^N+∑[(i N)Aⁱ·B^(N-i)]
, sólo valida para N>0 Que para el caso que nos interesa quedan:
 ∑(0ⁱ)=[0-0⁰]/(0-1)=0⁰
 (A)^N=A^N+0, independiente del valor de 0⁰, salvo A=0 que queda la identidad 0⁰=0⁰
Tampoco se pueden usar propiedades que usen divisiones entre 0.

Por supuesto tenemos que descartar la posibilidad de quedarnos con las dos soluciones, ya que no estamos frente a una ecuación, en la que puede haber varias soluciones, sino frente a una función que sólo admite, si está definida, un único valor.

Llegados a este punto tenemos tres opciones:
1. Dejar la función sin definir en 0⁰
2. Definir 0⁰=0
3. Definir 0⁰=1
Y hay que dejar claro que las dos últimas opciones serían definiciones arbitrarias, por lo que, aunque hubiese consenso, no podría considerarse de ninguna forma que se puede excluir la otra alternativa.
Además estaría por ver si esta definición tiene algún tipo de efecto en algún resultado matemático o por el contrario no afecta a nada.
Tampoco hay que olvidar los efectos prácticos, y en este  caso habría que inclinarse por la opción 0⁰=1, ya que en este caso si que se podría escribir:
 ∑(Xⁱ)=[X^(N+1)-1]/(X-1)
 (A+B)^N=∑[(i N)Aⁱ·B^(N-i)]
Así lo hacen varias calculadoras, por ejemplo la de google.

¿Cuánto vale pi? (II)

Una vez queda claro que el número pi es irracional, es decir, tiene infinitos decimales y no hay periodo podemos usar la siguiente adivinanza para aprender unas cuantas cifras:
 Soy y seré a todos definible
 mi nombre tengo que daros
 cociente diametral siempre inmedible
 soy de los redondos aros
                          Numero pi

 Y solo hay que contar el número de letras de cada palabra y se obtiene: 3,141592653589793238462 Y así tenemos 21 decimales aprendidos (aunque no tengan demasiada utilidad a partir del quinto)